Tsutomu, I want to ask you to take over for me.
勉、わたしはあなたにわたしの役目を引き継いでほしいの。
ask の後ろには「... 人+about~」や「... 人+疑問詞節」などいろいろな形がきますが、中でもよく使われるのが「ask 人+to+動詞の原形 ...(~するように〔人〕にたのむ)」です。tell(話す)や allow(許す)などこのパターンをとる動詞はほかにもたくさんあります。ask you to do ... は I want to ask you to ... や Can I ask you to ...? のパターンで依頼の表現としても使われます。遠回しな言い方なので、相手にていねいな印象を与えます。