Well, after I shook hands with the manager, she looked at me with a big smile on her face.
ええと、僕が担当部長と握手したあと、彼女は満面の笑みを浮かべて僕を見たんだ。
「付帯状況の with」と呼ばれる with の使い方。ある状況に伴って起こっている状況を表します。この文では she looked at me という状況と、a big smile on her face が同時に起こっていることが with によって表されています。前置詞 with は「一緒」を表す前置詞。ここでは同時性を表しています。be 動詞があるわけではないのに「大きな笑いが顔に浮かんでいる」と文的な内容を表しています。a big smile の後ろに on her face を並べれば、a big smile は on her face にあるという説明になります。
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