もちろん本気よ！
直前の Are you serious? に対して I sure am! と言っているので、I surely/certainly am serious!（そう、ほんとに本気だよ！）という意味で言っています。sure はこの場合、certainly などと同じように「確かに」と強調する表現で、surely をカジュアルにした形です。また、serious は省略されています。I sure am. は I am sure. に似ていますが、全く違う文です。I am sure. は自分が「（何かを）確信している」ということなので、例えば I am sure of my success.（私は自分の成功を確信している）のような意味で使います。一方、今回の I sure am. は Are you serious? という問いに対する、I am (serious). という答えに、強調語としての sure が加わった形です。
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