「-아 / 어 주시겠어요?:~(し)ていただけますか」は、相手の意向を伺いながら、ある行為を要求する表現です。尊敬の「시」がついているうえに、さらに「겠」が丁寧なイメージを与えているので、ソフトな印象を与えます。
「-아 / 어 드리겠어요 / 드리겠습니다.:~(し)て差し上げます」という表現と対になって使われることが多いので、あわせて覚えておくと便利です。
例)
짐을 좀 맡아 주시겠어요? 荷物を預かっていただけますか。
네, 맡아 드리겠습니다. はい、お預かりします(←預かって差し上げます)。