I can't guarantee it, but I'll do my best to get internal approval.
保証はできませんが、社内決裁を取るべく最善を尽くします。
「ベストを尽くす」というときの決まり文句です。try（やってみる）を使って I will try to get internal approval. と言うと、「（結果は分からないけど）やってみる」と解釈される可能性があります。最善を尽くそうとしているときは、しっかり do my best と言いましょう。internal は「社内の」と言うときに使える便利な単語です。internal meeting（社内ミーティング）、internal audit（社内監査）といった感じです。
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