Airing dirty laundry in public like that reflects badly on you and the company.
そのように内輪の恥をさらすと、自分や会社の印象が悪くなりますからね。
air dirty laundry in public は「内輪の恥をさらす[外に出す]」の意味です。「洗濯物」という意味の laundry から、dirty laundry は「外聞の悪いこと、内輪の恥」を意味し、批判的な文脈で使うことが多いです。アメリカでは air、イギリスでは wash を使うのが一般的です。laundry の代わりに linen も用いられます。
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