I can write them down for you.
紙に書いてあげますよ。
write down は「書き留める」という言い方です。for you ですから「あなたのために」ということです。この場合の them は銭湯についての a few simple rules を指しています。them という代名詞なので write と down の間に入り、write them down となります。I can は「私はできますよ」ということですが、自分の能力を誇示しているわけではありません。「もしお望みならできますよ、よろしければあなたのために書いてあげますよ」、というおもてなしの表現です。
このフレーズを
