I recommended you go on a weekday. It gets very crowded on weekends.
recommended に続く動詞は原形、未だ実現していないため、
a weekday で平日、weekendで一般的に週末、weekendsで毎週末、具体的には this weekend next weekend
I suggest we (should) park in the shade. it's going to be very hot today.
「suggest」の後に「should」を入れる必要はありません。「suggest」は「提案する」という意味を持っているので、「we park」という形で十分です。この構造はより簡潔で自然です。
駐車する場所の近くの日陰)を指しているので、「the」をつけて「in the shade」とするのが自然